Как решать 15 задание ЕГЭ по математике профиль и база? Это задачи на умение использовать приобретенные знания в практической деятельности и реальной жизни. Нужно уметь работать с числами, дробями, процентами и корнями, а также строить уравнения разного вида.
Базовый уровень
Прежде чем разбираться, как решать 15 задание из ЕГЭ по математике (база), нужно понять, какие знания проверяет эта задача. Ученик должен уметь использовать приобретённые знания умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Иными словами, необходимо уметь решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, а также на нахождение скорости и ускорения.
Чтобы без проблем разобраться, как решать задачу 15 в ЕГЭ по математике, нужно знать дроби, проценты и рациональные числа. А также уметь решать задания с использованием свойств чисел и систем счисления, делимости, долей и частей, процентов и модулей чисел.
На решение задания отводится максимум 8 минут, за правильное выполнение можно получить один балл.
Ну после этого можно переходить к разнообразным формулам для 15 задания ЕГЭ по математике. Чтобы вам было проще понять, как работать с этой задачей, мы собрали несколько примеров – смотрите на практике.
Дано:
В семье три человека: муж, жена и дочь-студентка.
- Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%;
- Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%.
Вопрос: сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение:
Опираясь на условия задачи, можно сделать вывод, что зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи (так как, если бы она увеличилась вдвое, то и доход вырос бы на 67%).
Если бы стипендия студентки уменьшилась в три раза, доход сократился бы на 4% — соответственно, 2/3 стипендии = 4% общего дохода семьи, а стипендия полностью = 6% общего дохода семьи.
Исходя из этого, доход жены вычисляем так: 100% — 67% — 6% = 27% от общего дохода.
Дано:
Четыре рубашки дешевле одной куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек будут дороже куртки?
Решение:
Если стоимость четырёх рубашек равна 92% от цены куртки, соответственно, стоимость одной рубашки составляет 23% (92/4) от цены куртки.
Поэтому стоимость пяти рубашек = 115% от цены куртки, что превышает ее стоимость на 15%.
Профильный уровень
Во второй части обзор поговорим о том, как решать 15 задание ЕГЭ по математике (профиль). Эта задача также предполагает умение учеником использовать приобретённые знания умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Решение 15 заданий ЕГЭ по математике (профиль) возможно, если выпускник умеет анализировать реальные числовые данные, информация статистического характера, а также осуществлять практические расчёты по формулам и пользоваться оценкой и прикидкой при статистических расчетах.
Нужно уметь решать прикладные задачи, в том числе, с использованием чисел, корней и степеней, а также задачи на совместную работу и движение, смеси и сплавы, с использованием квадратных и дробно-рациональных уравнений и их систем. Разбор 15 задания из ЕГЭ по математике (профиль) включает в себя умение решать задачи с помощью числовых неравенств и систем неравенств с одной переменной, с применением изображения числовых промежутков, а также с использованием числовых функций и их графиков.
Оформление задания 15 в ЕГЭ по математике (профиль) занимает около 25 минут, максимальный балл за правильное выполнение – один.
Давайте перейдём к практике!
Дано:
Клиент взял в банке кредит на некоторую сумму А рублей на 3 года под 15% годовых. Выплачивать кредит он должен ежегодными платежами так, чтобы каждый год сумма долга уменьшалась равномерно.
Вопрос: чему равно А, если в итоге клиент заплатил банку 390 000 рублей?
А теперь – как решать 15 номер в ЕГЭ по математике (профиль):
- Так кредит взять на три года, значит, после первой выплаты долг должен составлять А – 1/3А = 2/3А рублей;
- После второй выплаты долг будет равен 2/3А – 1/3А = 1/3А рублей;
- После последней выплаты долг будет составлять 1/3А – 1/3А = 0.
Строим таблицу:
| год | сумма долга до начисления процентов | сумма долга после начисления процентов | выплата |
| 1 | А | А + 0,15А | 0,15А + 1/3А |
| 2 | 2/3А | 2/3А + 0,15х2/3А | 0,15Ах2/3А + 1/3А |
| 3 | 1/3А | 1/3А + 0,15х1/3А | 0,5х1/3А + 1/3А |
Сумма, которую клиент в итоге заплатил банку – это сумма всех выплат по кредиту. Необходимо сложить выплаты следующим образом: (сумма первых частей) + (сумма вторых частей).
(0,15А + 0,15х2/3А + 0,15х1/3А) + (1/3А + 1/3А + 1/3А) = 390 000 равносильно
0,15А х (1 + 2/3 + 1/3) + А = 390 000 равносильно
А = 300 000 рублей.
Разумеется, охватить в одной статье все виды 15 задания ЕГЭ по математике (профиль) невозможно, их очень много. Но мы можем привести еще один пример!
Дано:
Строительство нового завода стоит 159 миллионов рублей, затраты на производство Х тысяч единиц продукции на таком заводе равны, соответственно, 0,5Х2 + 2Х + 6 млн. руб. в год.
Если продукцию завода продать по цене Р тыс. руб. за единицу, то прибыль фирмы в млн. руб. составит РХ – (0,5Х2 + 2Х + 6) за один год.
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год Р = 10, а далее каждый год возрастает на 1. За сколько окупится строительство?
А теперь разбор 15 задания ЕГЭ по математике (профильный уровень):
Сначала нужно найти такое количество производимой продукции Х, при котором прибыль фирмы будет наибольшей при фиксированном Р. Для этого необходимо найти максимум прибыли, равной: PR = РХ – (0,5Х2 + 2Х +6).
Преобразуем это выражение:
РХ – (0,5Х2 + 2Х + 6) = –0,5Х2 + (Р – 2)Х – 6 =
= –0,5(Х2 – 2(Р – 2)Х + 12) =
= –0,5(Х2 – 2(Р – 2)Х + (Р – 2)2 – (Р – 2)2 + 12) =
= –0,5(Х – Р + 2)2 + 0,5(Р – 2)2 = 6.
Заметим, что –0,5(Х – Р + 2)2 меньше или равно 0, поэтому
–0,5(Х – Р + 2)2 + 0,5(Р – 2)2 – 6 меньше или равно 0,5(р – 2)2 – 6.
Соответственно, максимальное значение выражения PR = РХ – (0,5Х2 + 2Х + 6) равно PRmax = 0,5(Р – 2)2 – 6 и достигается при Х – Р + 2 = 0, откуда Х0 = Р – 2.
Иными словами, за каждый год фирма будет зарабатывать PRmax = 0,5(Р – 2)2 – 6 миллионов рублей.
Первый год:
Р = 10. Прибыль фирмы составит PRmax(10) = 0,5(10 – 2)2 – 6 = 26 < 159 миллионов рублей.
Второй год:
Р = 11. Прибыль фирмы составит PRmax(11) = 0,5(11 – 2)2 – 6 = 34,5 миллиона рублей.
Значит, за первые два года фирма заработает 26 + 34,5 = 60,5 < 159 миллионов рублей.
Третий год:
Р = 12. Прибыль фирмы составит PRmax(12) = 0,5(12 – 2)2 – 6 = 44 миллиона рублей.
Значит, за первые три года фирма заработает 60,5 + 44 = 104,5 миллиона рублей.
Четвертый год:
Р = 13. Прибыль фирмы составит PRmax(13) = 0,5(13 – 2)2 – 6 = 54,5 миллиона рублей.
Значит, за первые четыре года фирма заработает 104,5 + 54,5 = 159 миллионов рублей.
Соответственно, строительство окупится за четыре года.
Критерии 15 задания ЕГЭ по математике профиль и база вы теперь знаете – осталось подтянуть знания, согласно соответствующим разделам кодификатора. Не пренебрегайте постоянными занятиями, только так можно добиться успеха!
