Как решать 16 задание из ЕГЭ по математике (профильный уровень)? Ученику необходимо уметь решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин, а также уметь моделировать реальные ситуации на языке геометрии.
Какие знания важны?
Давайте немного поговорим о критериях 16 задания ЕГЭ по математике. Оно относится к повышенному уровню сложности, среднее время выполнения составляет 35 минут. Максимальный балл за верное решение этой задачки – 3.
Для того чтобы успешно справиться с этим заданием, ученик должен уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Это подразумевает под собой следующие навыки:
- Умение решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей);
- Умение определять координаты точки, а также проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами.
Следующее, что важно знать о том, как решать 16 задание ЕГЭ по математике – как строить и исследовать простейшие математические модели. Это включает в себя следующие навыки:
- Умение моделировать реальные ситуации на языке геометрии, а также исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин;
- Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения.
Разумеется, без теории никуда. Однако разбор 16 задания из ЕГЭ по математике будет неполным, если мы не посмотрим, как решать эту задачу на практике.
Разбор задачки
Во второй части обзора вас ждёт подробный разбор 16 задания из ЕГЭ по математике (профиль). Перед вами две задачи, которые уже использовались на экзамене – это примеры из прошлых лет.
Задача 1.
Условие:
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM меньше утроенного радиуса вписанной окружности.
б) Найдите sin угла BMС, если отрезок BM в 2,2 раза больше радиуса вписанной в треугольник ABC окружности.
Решение а):
1) Пусть К – это точка касания окружности и катета ВС. Обозначим за r = ОК = ОМ радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
2) Рассмотрим треугольник ВОК. Так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то угол ОВК = 45о, откуда ВО = ОК / sin45о = r √2.
3) Рассмотрим треугольник ВОМ. Так как ВО = r √2, ОМ = r, соответственно, по неравенству треугольника ВМ меньше ВО + ОМ = r √2 + r меньше 3r.
Решение б):
1) Так как угол ОМС = 90о, то sin угла BMC = sin(90о – угол ВМО) = сos угла ВМО.
2) найдем cos угла ВМО, применив теорему косинусов для треугольника ВМО:
ВО2 = ВМ2 + ОМ2 – 2ВМ х ОМ х cos угла ВМО.
Откуда с использованием равенств ВМ = 2,2r и ВО = r √2 (см. пункт А) находим следующее:
сos угла ВМО = ВМ2 + ОМ2 – ВО2 / 2ВМ х ОМ = (2,2r)2 + r2 – (r √2)2 / 2 х 2,2r х r = 3,84 / 4,4 = 48 / 55.
Ответ: 48 / 55
Теперь давайте перейдём к решению еще одного 16 задания из ЕГЭ по математике (профиль).
Задача 2.
Условие:
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые AC и EH параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если угол ABC равен 30°.
Решение а):
1) Рассмотрим прямоугольные треугольники ОЕМ и ОНК. Они подобны, так как имеют прямой угол и равные вертикальные углы. Из подобия получаем следующее: ОЕ / ОН = ОМ / ОК.
2) Рассмотрим прямоугольные треугольники ОАМ и ОКС. Они также подобны, так как имеют прямой угол и равные вертикальные углы. Из подобия находим ОМ / ОК = ОА / ОС.
3) Из пунктов 1) и 2) получаем, что ОЕ / ОН = ОА / ОС или ОЕ / ОА = ОН / ОС.
Следовательно, треугольники ОЕН и ОАС подобны, так как они еще имеют общий угол О. Из подобия находим угол ОЕН = угол ОАС, следовательно, АС || НЕ, так как углы ОЕН и ОАС соответственные.
Решение б):
1) Рассмотрим треугольники АВК и АМО. Так как оба эти треугольника прямоугольные, и угол КАВ у них общий, то эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия находим, что угол АОМ = 30о.
2) Пусть ОЕ = х. Тогда из треугольника ОЕМ верно ОМ = ОЕ / cos30о = 2х / √3. Теперь из треугольника ОАМ находим ОА = ОМ / cos30о = 4ч / 3.
3) Так как треугольники ОЕН и ОАС подобны (см. пункт А), то ЕН / АС = ОЕ / ОА = х / 4х = 3 / 4.
Ответ: 3 / 4.
Что мы можем посоветовать напоследок? Обязательно заранее повторите формулы для 16 задания ЕГЭ по математике – тогда (мы уверены) вы сможете с лёгкостью справиться с этой задачкой и получите три максимальных балла!
