Решение тригонометрических уравнений в ЕГЭ профильного уровня возможно, если вы знаете основные тригонометрические формулы и умеете применять их на практике. Кроме того, необходимо правильно решить оба пункта задания (а и б).
Критерии оценивания
Решение тригонометрических уравнений в ЕГЭ по математике (профиль) ждет вас в 12 задании – именно оно открывает вторую часть, куда входят вопросы с развернутым ответом.
Есть определённые требования, которые необходимо соблюдать. Во-первых, решение должно быть математически грамотным и полным, должны быть рассмотрены все возможные случаи.
Оформление тригонометрических уравнений в ЕГЭ может быть разным – это касается методов решения, форм записи решения и форм записи ответа. Помните, что эксперты проверяю только математического содержания представленного решения, а особенности записи не учитывают. Также допустимо использовать любые математические факты, входящие в учебники, без дополнительных доказательств и ссылок.
Прежде чем переходить ко второй части (в ней мы обсудим, как решать тригонометрические уравнения ЕГЭ), нужно сказать несколько слов о критериях оценивания.
Максимальное количество баллов за двенадцатое задание – 2.
- Вы получите максимум баллов, если верные ответы обоснованно получены в обоих пунктах;
- Вы получаете один балл если обоснованно получен верный ответ в пункте а) или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов (а и б);
- Если решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев – 0 баллов.
Ну а теперь можно обсудить, как решать тригонометрические уравнения на ЕГЭ по математике (профиль). Ниже вас ждет очень важная информация!
Полезные советы
Подготовку к ЕГЭ в части тригонометрических уравнений, разумеется, необходимо начинать с теории. Если вы не знаете основных формул, вы не сможете решить это задание – увы!
Итак, какие тригонометрические формулы нужны на ЕГЭ? Все самые основные – ниже приводим полный список того, что вам необходимо будет хорошенько запомнить.
Основные тригонометрические функции по определению:
- sinx = a/c
- cosx = b/c
- tgx = a/b
- ctgx = 1/tgx = b/a
Основное тригонометрическое тождество и следствия:
- tgx = sinx/cosx
- ctgx = 1/tgx = cosx/sinx
- sin2x + cos2x = 1
- tgx + 1 = 1/cos2x
- ctgx + 1 = 1/sin2x
Формулы двойного угла:
- sin2x = 2*sinx*cosx – 2tgx/1 + tg2x
- cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 – 2 sin2x = 1 = tg2x/1 + tg2x
- tg2x = 2tgx/1 = tg2x
- ctg2x = 1 – tg2x/2tgx = ctg2x – 1/2ctgx
Формулы понижения степени:
- sin2x/2 = 1 – cosx/2
- cos2x/2 = 1+ cosx/2
- tg2x/2 = 1 – cosx/1 + cosx
- ctg2x/2 = 1 – cosx/1 + cosx
Формулы приведения учить не нужно, важно понимать, как они получаются – тогда и проблем не будет. Кроме того, вам нужно знать все про тригонометрический круг. Кстати, небольшой полезный совет, который поможет научиться отбирать решения с помощью тригонометрического круга: его крайние правая. Соответствуют числам – смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток и прибавляем к ней (или вычитаем из нее) нужные значения.
Запоминайте основные тригонометрические формулы для ЕГЭ – а мы пока покажем на примерах, как можно решить двенадцатое задание в профильном экзамене по математике.
Разбор задания
В последней части этого обзора мы разберём одно из заданий, которое реально входило в экзамен прошлых лет. Вы сможете на практике увидеть, как правильно применять формула, как делать расчёты и проверять их, как вывести правильный ответ. Итак, приступим!
Дано:
а) Решите уравнение 2sin2x – 3sinx + 1 / √cosx = 0
б) Укажите корни, лежащие на промежутке [7π/2;5π]
Решение этого тригонометрического уравнения на ЕГЭ будет выглядеть так:
ОДЗ: cosx больше 0.
а) с учетом ОДЗ уравнение эквивалентно 2sin2x – 3sinx + 1 = 0.
Сделаем замену sinx = t, тогда получим 2t2 – 3t + 1 = 0.
Найдем корни, используя дискриминант: t = 1 или t = 1/2.
Сделаем обратную замену: sinx = 1 или sinx = 1/2.
Если sinx = 1, то корни x = π/2 + 2πn, n ∑ Z – по ОДЗ не подходят.
Если sinx = ½, то корни x = π/6 + 2πk, k ∑ Z, и x = 5π/6 + 2πl, l ∑ Z.
По ОДЗ подходят только x = 5π/6 + 2πk, k ∑ Z.
Ответ: а) x = 5π/6 + 2πk, k ∑ Z.
Как вы уже знаете, решение тригонометрических уравнений в ЕГЭ по профильной математике, включает две части. Ответ на пункт а) мы нашли, остается пункт б).
Согласно а), уравнение имеет корни x = 5π/6 + 2πk, k ∑ Z. Соответственно, мы будем искать корни, лежащие на промежутке [7π/2;5π].
-5π/2 меньше или равно π/6 + 2πk меньше или равно -π делим на π:
7/2 меньше или равно 1/6 + 2k меньше или равно 5;
7/2 – 1/6 меньше или равно 2k меньше или равно 5 – 1/6;
10/3 меньше или равно 2k меньше или равно 4 и 5/6;
1 и 2/3 меньше или равно k меньше или равно 2 и 5/12;
k = 2, откуда х = π/6 + 4π = 25π/6.
Ответ, таким образом: х = 25π/6.
Методы решения тригонометрических уравнений на ЕГЭ могут быть разными – главное, чтобы вы использовали правильные формулы и внимательно проверяли расчеты. Тогда вы сможете получить максимум баллов за выполнение этого задания!
