Как решать 11 задание в ЕГЭ по математике (профиль) правильно? Нужно определить тип: поиск точки экстремума функции или поиск наибольшего/наименьшего значения функции, а затем воспользоваться алгоритмом.
Общие правила
Задание номер 11 в ЕГЭ по математике (профиль) входит в первую часть экзамена и считается одним из самых сложных. Все дело в том, что здесь проверяется ваше умение решать задачи на производную – к сожалению, эта тема непонятна очень и очень многим.
Но ничего страшного – мы составили гайд с подсказками по решению задания 11 в ЕГЭ по математике (профиль). И первым делом расскажем о двух основных типах задач, которые можно встретить.
- Поиск точки минимума или точки максимума функции
- Поиск наибольшего значения функции или наименьшего значения функции
Чуть ниже мы поговорим об алгоритмах выполнения задания 11 ЕГЭ, но сначала приведем базовые термины, которые вам стоит знать. Если вы до сих пор не справлялись с решением задач на производную, нужно начать с изучения теории.
- Точка максимума – такая точка x0 , если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)<f(x0);
- Точка минимума – такая точка x0, если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)>f(x0);
- Максимум функции – значение функции в точке максимума x0;
- Минимум функции – значение функции в точке минимума x0.
Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума, а точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Экстремумы могут существовать только в критических точках. Однако, не все критические точки являются экстремумами.
Для успешного решения нужно запомнить несколько несложных формул для 11 задания ЕГЭ по математике (профиль): u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
- (c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
- (u + v)′ = u′ + v′
- (u — v)′ = u′ — v′
- (u ⋅ v)′ = u′v + v′u
- (u/v)’ = (u’v — v’u)/v2
Еще немного теории для 11 задания ЕГЭ по профильной математике. Существуют и сложные функции – когда одна функция вложена в другую. Найти производную можно с помощью умножения производной внешней функции на производную внутренней функции – воспользуйтесь формулой (f(y))′ = f′(y) ⋅ y′.
Поиск точек экстремума
Первый тип задания номер 11 в ЕГЭ по математике профильного уровня – поиск точки минимума или точки максимума функции.
Алгоритм несложный, делаем следующее:
- Сначала необходимо найти производную;
- Второй шаг – поиск точек экстремума;
- Далее необходимо приравнять производную к нулю и решить получившееся уравнение.
Теперь можно переходить к следующему этапу:
- Нарисуйте ось и отметьте на ней корни: сверху опишите производную, снизу – саму функцию;
- Найдите знаки производной в интервалах между корнями (подставьте удобные числа из интервалов в производную);
- Определите вид каждого экстремума: если переход с «-» на «+», значит, точка минимума (или, наоборот, точка максимума, если переход с «+» на «-»).
Приводим разбор 11 задания ЕГЭ по математике (профиль). Это классический вариант!
Задание: найдите точку минимума функции y = x3 – 9×2 + 12.
Решение:
D(y) = R
?′(х) = 3?2 − 9⋅2? = 3?2 − 18? = 3? (?−6).
ּּּ?′(х) = 0, 3? (?−6) = 0,
?1 = 0; ?2 = 6.
Ответ: при переходе через точку х=6 производная меняет знак с «-» на «+», значит, эта точка минимума.
Важно – это лишь пример, которым можно руководствоваться. Нет никаких гарантий, что во время экзамена вам попадется именно это задание.
Так как мы хотим изучить все типы 11 задания ЕГЭ по математике (профиль), переходим к следующему возможному варианту.
Поиск значения функции
Второй вариант, который может попасться на экзамене – это поиск максимального или минимального значения функции. В 11 задаче ЕГЭ по математике (профиль) такое задание встречается довольно часто.
Здесь алгоритм еще проще – этой единой инструкцией можно пользоваться при решении любых подобных задач.
- Сначала найдите производную;
- Приравняйте ее к нулю и найдите точки экстремума.
Затем нужно будет посчитать значение исходной функции в:
- Начале промежутка;
- Конце промежутка;
- В экстремумах, лежащих в [a; b], если есть.
Последний шаг – выбор нужного значения.
А теперь переходим к прототипу задания 11 ЕГЭ по математике (профиль). Еще раз напомним, это лишь пример, который поможет разобраться в тонкостях решения.
Задание: найдите наименьшее значение функции ? = ?? − 3? + 16 на отрезке [1;9].
Решение:
D(y) = [0; +∞]
y = x3/2 – 3х + 16
y’ (x) = 3/2×1/2 – 3 = 3/2√x – 3
y’ (x) = 0, 3/2√x – 3 = 0, √x = 3х2/3, √x = 2, х = 4
4 ∈ [1;9]
Ответ: в точке х = 4 заданная функция имеет минимум.
y (4) = 4√4 – 3 х 4 + 16 = 12.
Соответственно, ответ – 12.
Надеемся, с нашими подсказками вы сможете разобраться, как делать 11 задание в ЕГЭ по математике (профиль). Пусть оно и кажется очень сложным, нужно лишь правильно выстроить алгоритм решения – и тогда все получится!
